Curso Admisión - Matemáticas

 

Curso Admisión

CURSO I

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS

OBJETIVOS: 

La aritmética fundamental de las matemáticas en base a operaciones fundamentales que son: Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación.

El programa del curso comprenderá al desarrollo de habilidades matemáticas a través de una serie de actividades que fortalecen y amplían oportunidades del estudiante, promoviendo el desarrollo de procesos en operaciones matemáticas y así para identificar, analizar, generalizar, representar, modelar y resolver problemas de la cotidianos,aplicado la leyes de los signos. 

El curso proveerá de los elementos básicos necesarios para su formación en nivel bachiller, ser individual y social.

Inicio Clase 1

LOS NÚMEROS REALES

La Recta numérica

Conjunto ordenado de números que se escribe de forma ordenada sobre una línea horizontal, con marcas a igual distancia, en donde se anotan los números.
Hacia la derecha del cero, se colocan los números positivos y hacia la izquierda del cero, los negativos.

Trazamos la recta L y elegimos un punto sobre ella como origen o cero, tomamos un segmento arbitrario como unidad (U).

Relación de orden

La serie de los números naturales está ordenada de menor a mayor. Así, al ver una serie de números ordenados, podemos saber que los anteriores a un número son menores y los que están ordenados después, son mayores que ese número.

Ejemplo:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
Sabemos que los números que están antes del 6, son menores a éste (1,2,3,4, y 5) y que los que están colocados después, son mayores, incluso aunque no estén escritos. (Por ejemplo el 25 es mayor que 6)

Números Reales

Los primeros números que aparecieron históricamente fueron los números naturales, utilizados para contar. medir, pérdidas y ganancias y profundidades requerimos el 0 y los números enteros negativos, que junto con los naturales forman el conjunto de los enteros.

 En mediciones más precisas se utilizan otro números como los racionales e  irracionales que en conjunto forman a los números reales.

 

NÚMEROS NATURALES._ Son aquellos números que utilizamos para contar.

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…}

 

NÚMEROS  ENTEROS._ Tienen parte decimal nulo.

E = {…-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5…}

NÚMEROS RACIONALES._ Se pueden expresar como la división de  dos enteros.

D = {x/x = a ÷ b; a, b Î E, a ≠ 0}

Algunos elementos de D son:

D = {3/4, -8/5, -6, 0, 1.43, -2.454545…, 2938/34089…}

Entre los números racionales se incluyen:

Todos los enteros positivos y negativos. Ejemplo: 4, -7, 0, 345, etc.

Toda fracción (formada por enteros). Ejemplo: 3/5, 187/456,                                             

Todo número decimal finito. Ejemplo: 3.657, -.2934, 35.39475…

Todo número decimal infinito periódico. Ejemplo: 2.3333…,4.363636…, 0.384384384…, etc.

 

NUMEROS IRRACIONALES._ No se pueden escribir como la división de dos enteros.

Algunos números irracionales son:

Q = { p, e, √2, √3, √5….}

Contiene a los números con raíces no exactas.

 

NÚMEROS REALES._ Contiene tanto a los números racionales como a los números irracionales.

Algunos números reales son:

R = {3,-5, 0,3/5,-9/37,p, √7, 1.43,3.656565…, etc.}

REGLA DE SIGNOS PARA SUMA Y RESTA

REGLA DE SIGNOS PARA SUMAR O RESTAR

+	con	+	=	+       Se suman y se deja el mismo signo
-	con	-	=	-        Se suman y se dejan el mismo signo
+	con	-	=	Se deja el Signo  de mayor valor numérico
-	con	+	=	Se deja el signo de mayor valor numérico

SUMA Y RESTA DE REALES

Ejemplos aplicando las reglas de los signos:

1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si  los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:              5 + 8 = 13                    5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:              5 - 8 = -3                      5 - (-8) = 13

3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:              5 x 8 = 40                     5 x -8 = -40

En esta sección aprenderemos cómo realizar las operaciones entre números reales en una forma sencilla. Aquí te proponemos una forma sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:

Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. Ejemplo: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera -3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ejemplo:                         5 – 3 = 2                            -5 + 3 = -2

Mira estos otros ejemplos:

-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3                    o   

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3

a) -4-2-5-10=  -21                                    b) 4+2+5+10= 21

En estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así: 

-4+5-10-20+15-7+9 = ?

-4-10-20-7 = -41       5+15+9=29       Y luego restar:      -41+29 = -12

Nótese, que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

REGLA DE SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

LA DE SIGNOS PARA MULTIPLICAR + * + = + - * - = + + * - = - - * + = -

REGLA DE SIGNOS PARA DIVIDIR + ÷ + = + - ÷ - = + + ÷ - = - - ÷ + = -

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Ejemplos aplicando las reglas de los signos:

Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y división, es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. 

Ejemplos:

-5*-3 = 15  -5*3 = -15	5*3 = 15  5*-3 = -15
15÷5 = 3 -15÷5 = -3	15÷-5 = -3 -15÷5 = -3

Fin Clase 1

Inicio Clase 2

Fin Clase 2

REPASO LEYES DE SIGNOS (VIDEOS)

Ejemplos de aplicación de Leyes de Signos.

Suma, Resta, Multiplicación y División.

VÍDEOS:

Leyes de Signos, Suma y Resta,

Leyes de Signos, Multiplicación y División.

Ejemplos, Leyes de Signos, Suma y Resta.

Ejemplos, Aplicación Leyes de Signos, Suma y Resta.

Ejemplos, Leyes de Signos, Multiplicación y División.

Ejemplos Combinados, Suma, Resta y Multiplicación.

Inicio Clase 3

Inicio Participación 3

Fin Participación 3

Fin Clase 3

Inicio Clase 4

Introducción de Fracciones.

Ejemplos de Fracciones.

Ejemplos de Fracciones 1.

Fin Clase 4

Inicio Clase 5

Regla de Tres Simple o Directa (VIDEOS)

VER VIDEO DAR CLIKC →  REGLA DE TRES

                                                  OTRO EJEMPLO

                                                  OTRO  EJEMPLO                               

Regla de Tres Inversa  o Indirecta

VER VIDEO DAR CLIKC →  REGLA DE TRES INVERSA
                            
                             OTRO EJEMPLO
                             
                             OTRO EJEMPLO

Porcentajes

VER VIDEO DAR CLIKC →   PORCENTAJES

                                       
                                   OTRO EJEMPLO

                                      
Proporciones Directas

VER VIDEO DAR CLIKC →   PROPORCIONES DIRECTAS
                              

Proporciones Inversa (Proporcionalidad Inversa)

VER VIDEO DAR CLIKC →    PROPORCIÓN INVERSA

Más ejemplos de Porcentajes

VER VIDEO DAR CLIKC →   EJEMPLO

                                                   EJEMPLO

                            EJEMPLO

TAREA: Realizar los siguientes ejercicios de classroom.

Fin Clase 5

Inicio Clase 6

PARTE A

1.- Resolver  (3/1) + (1/2 – 1/2) + (4 +3 -2 -3) - (-10) =

2.- Resolver  2 / 9 – 3/2 – ( 2 )  (–1)  – 8 =

3.- Resolver  2 / 3 – 4 / 2 +  5/ 2 + 4 / 3  =

4.- Resolver  a) 80 ÷ __ = 3  R5         

                      b) (20.0)  ( .98) =

5.- Unos 12 kilos de bombones cuestan 5.5 euros, ¿cuánto costarán 100 kilos?

6.- 3/1 + 1/2 – ½  + 4 +3 -2 -3 - (-10)

7.- A Juan le dieron 2/4 de pastel y a Montse 2/5 de pastel. ¿Cuánto reunieron entre los dos?

8.- Un empleado gana diariamente 30 y 2/8 euros y gasta 20 y 1/8 euros ¿Cuánto ahorra diariamente?

9.- Resolver  –1y2/7  +  5y6/9  –  9y5/8 =

10.- Resolver (–4 / 2) (4 / 8) (9 / 3) (–140 / 2) (–110) =

PARTE B

1.- Resolver (2/1) + (3/2 – 1/2) + (6 +3 -2 -3) - (-11) =

2.- Resolver  2/5 – 1/2 –  2   –1  – 8 =

3.- Resolver  (4 / 3) – (2 / 2) – 5/ 2 + 4 / 3   – (–58) =

4.- Resolver  a) 80 ÷ __ = 4  R0         

                      b) (20.3)  ( 0.78) =

5.- Unos 12 kilos de bombones cuestan 5.5 euros, ¿Cuánto costarán 100 kilos?

6.-  3/1 + 1/2 – 4 +3 -2 -3 - (-110) =

7.- A Juan le dieron 1/4 de pastel y a Montse 1/5 de pastel. ¿Cuánto reunieron entre los dos?

8.- Un empleado gana diariamente 38 y 2/8 euros y gasta 12 y 1/8 euros ¿Cuánto ahorra diariamente?

9.- Resolver  –2y2/7  + 1y6/9  – 3y5/8 =

10.- Resolver (–6/ 2) (8 / 8) (12/ 3) (–100 / 2) (–10) =

11.- ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?

Fin Clase 6

INICIO REPASO: SOLUCIÓN PARTE B

FIN REPASO

Inicio Clase 7

EVALUACIÓN

Propedéutico Matemáticas  

Name:                                                                                             Date:                                           

1.- Resolver: (2/1) + (3/2 – 1/3) + (5 +6 -7 -8) - (-15) =

2.- Resolver: 2/5 – 4/3 – 3 –2 – 5 = 

ETC...

Fin 

CURSO II

MATEMÁTICAS I

OBJETIVOS: Reconocerá a los polinomios como expresiones algebraicas y realizará operaciones aplicadas a los polinomios.



INICIO CLASE 1

REPASO DE OPERACIONES BÁSICAS

Leyes de Signos: Suma/Resta

Ejemplos: Suma/Resta

Ejemplo: Suma/Resta

Leyes de Signos: Multiplicación/División

Ejemplos: Multiplicación/División

Ejemplos: Operaciones con, Suma, Resta y Multiplicación

Introducción Operaciones con Fracciones

Ejemplos: Operaciones con Fracciones

ALGEBRA

 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS: Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Introducción Suma/Resta Algebraica

Ejemplos Suma/Resta Algebraica

SUMA Y RESTA ALGEBRAICA

Ejemplo 3.3: Simplificar:       a) 4x²y + 3x²y – 2x²y

                                            b) 3x + 2y – x + 5y

                                      c) 3x + 2y – 1

                                            d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes: 

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes  [ ], Llaves  { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar        3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución:      Suprimiendo los signos de agrupación queda:     3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

                                                                                          = -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

                                                                                          = -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar:    x + (y – z) –  [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución:   Suprimiendo los paréntesis       x + y – z –  [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]     

                  Suprimiendo los corchetes     = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z         

                   Simplificando                         = -x + 2y

Actividades a realizar 1.1

Simplificar las expresiones siguientes

1)    6x – 10x	2)    -5ab – 7ab + 2.5	3)     4.9y + 5.3y – 2.8y
4)    4a – 2a + 5a	5)    x – 5 – 10x + 5	6)    4(z + 5) + 8z
7)    9y + 3 + 11y + 4	8)    3x2 + 2x – 3x2 + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Introducción Multiplicación Algebraica

Multiplicación Algebraica

Multiplicación Algebraica con Binomios

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias:   xⁿ  x^m = x^n+m

Ejemplos:     x³ x⁴ = x⁷,      y y³ = y⁴,    z z⁶ z³ = z¹⁰     

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar               7x²y³  por  -8x³y⁵z²

Solución:        (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar:           -25a⁵c⁴  por -24a³b⁴c

Solución:        (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) =  600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.  

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² –  5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar  8xy⁴z⁵  por -9x³z² – 5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 1.2

      Resolver las siguientes operaciones.

1.      (2x – 1) (3x + 2)	2.      (5y – 3) ( 8y – 6)	3.      (3x – 9y) (2z – 5w)
4.      (4a + 8) (7a + 9)	5.      (6b + 5) (9b – 10)	6.      (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8.      (c3 – 2d5) (3c4 + ½ d6)

FIN CLASE 1

INICIO CLASE 2

Repaso Suma y Resta Algebraica

Ejemplos Suma y Resta Algebraica

Repaso Multiplicación Algebraico

Ejemplo Multiplicación Algebraica

Ejemplos Multiplicación de Binomios

Introducción División Algebraica

Ejemplo División Algebraica 1

Ejemplo División Algebraica 2

TAREA

Repasar ejercicios de División Algebraica

Ejemplo División Algebraica 3

Ejemplo División Algebraica 4

Ejemplo División Algebraica 5

Ejemplo División Algebraica 6

Ejemplo División Algebraica 7

FIN CLASE 2

INICIO CLASE 3

Repaso de División Algebraica

FIN CLASE 3

INICIO CLASE 4

DIVISIÓN ALGEBRAICA

 

Regla de los exponentes para la división de potencias:    aⁿ/a^m = a^{n – m}

 

Ejemplo 3.18:        x⁷/x³ = x⁴,     a⁸/ a⁵ = a³,        y⁶/y = y⁵

 

Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes y se aplica el teorema para las constantes.

 

Ejemplo 3.19:   Dividir   a) 24x⁵y⁷z entre 6x³y⁴        b) 12x³y⁵z² entre 18x³y⁴

 

Solución:  a) 24x⁵y⁷ ÷ 6x3y⁴ = 4x²y³ ,      b) 12x³y⁵z² ÷ 18x³y² = ⅔ y³z²

En el inciso b el coeficiente ⅔ es el resultado de la simplificación de 12/18. La literal y fue eliminada debido a la igualdad de los exponentes.

 

Para dividir dos polinomios se siguen los siguientes pasos:

1. Se ordenan ambos polinomios en orden decreciente respecto al grado de la variable.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
3. Se suma del dividendo el inverso aditivo del producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo.
4. Se baja el siguiente término del dividendo sumándoselo al residuo anterior.
5. Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, obteniendo el segundo término del cociente.
6. Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor al del divisor.
7. Comprobar el resultado verificando que:

Cociente × Divisor + Residuo = Dividendo

 

Ejemplo 3.20: Calcular  (24y³ – 41y² – 10) ÷ (3y – 4)

 

Solución: Escribimos los polinomios en orden decreciente de acuerdo a los exponentes de y. Escribimos ceros para las potencias de y que no aparecen en el dividendo.

 

Paso 1                          _  8y²_________________        Calcular 24y³ ÷ 3y

                         3y - 4 ) 24y³ – 41y² + 0y - 10  

                                      -24y³ + 32y²                                    Inverso aditivo del producto

         Suma                                 -6y² + 0y               8y² por 3y – 4

 

Paso 2

                                       _8y² – 3y___    _________   Calcular 9y² ÷ 3y

                            3y – 4 ) 24y³ – 41y² + 0y – 10       

                                       -24y³ + 32y²

                                                  -9y² + 0y                        Bajar 0y

                                                    9y² – 12y                     Inverso aditivo del producto

     Suma                                             -12y – 10             3y por 3y – 4

 

Paso 3

                                       _8y² – 3y – 4 _______           Calcular -12y entre 3y

                            3y – 4 ) 24y³ – 41y² + 0y – 10

                                        -24³ + 32y²

                                                  -9y² + 0y

                                                   9y² – 12y

                                                           -12y – 10                Bajar -10

                                                            12y – 16                Inverso aditivo del producto

                  Suma y Residuo                           -26                  -4 por 3y - 4

 

Actividades a resolver 

FIN CLASE 4

INICIO CLASE 5

TRINOMIO DE LA FORMA  x² + b x + c = 0

 TRINOMIO DE LA FORMA  ax² + b x + c = 0

Introducción Trinomios

Trinomios F.G. 

Trinomios F.G. y C.M.

FIN CLASE 5

INICIO CLASE 6

EJEMPLOS DE TRINOMIOS

FIN CLASE 6

INICIO CLASE 7

REPASO DE FRACCIONES

Ejemplo de Fracciones Básicas

Ejemplos de Fracciones

PARTICIPACIÓN 7: Resolver, los siguientes ejercicios, de fracciones.

FIN CLASE 7

Evaluación Matemáticas 1

FIN 

CURSO III

MATEMÁTICAS II

OBJETIVOS: Reconocerá a los polinomios como expresiones algebraicas y realizará operaciones aplicadas a los polinomios, ecuaciones de primer grado y graficas.

Realizar portada, con porcentajes de evaluación.

INICIO CLASE 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES

REPASO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS.-  Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Ejemplo 3.3: Simplificar:       a) 4x²y + 3x²y – 2x²y

                                            b) 3x + 2y – x + 5y

                                      c) 3x + 2y – 1

                                            d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes: 

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes  [ ], Llaves  { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar        3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución:      Suprimiendo los signos de agrupación queda:     3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

                                                                                          = -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

                                                                                          = -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar:    x + (y – z) –  [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución:   Suprimiendo los paréntesis       x + y – z –  [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]     

                  Suprimiendo los corchetes     = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z         

                   Simplificando                         = -x + 2y

Actividades a realizar 1.1

Simplificar las expresiones siguientes

1)    6x – 10x	2)    -5ab – 7ab + 2.5	3)     4.9y + 5.3y – 2.8y
4)    4a – 2a + 5a	5)    x – 5 – 10x + 5	6)    4(z + 5) + 8z
7)    9y + 3 + 11y + 4	8)    3x2 + 2x – 3x2 + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias:   xⁿ  x^m = x^n+m

Ejemplos:     x³ x⁴ = x⁷,      y y³ = y⁴,    z z⁶ z³ = z¹⁰     

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar               7x²y³  por  -8x³y⁵z²

 

Solución:        (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar:           -25a⁵c⁴  por -24a³b⁴c

Solución:        (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) =  600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.  

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² –  5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar  8xy⁴z⁵  por -9x³z² – 5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 1.2

      Resolver las siguientes operaciones.

1.      (2x – 1) (3x + 2)	2.      (5y – 3) ( 8y – 6)	3.      (3x – 9y) (2z – 5w)
4.      (4a + 8) (7a + 9)	5.      (6b + 5) (9b – 10)	6.      (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8.      (c3 – 2d5) (3c4 + ½ d6)

FIN CLASE 1

INICIO CLASE 2

Repaso Ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Participación.

TAREA 2

1.-

2.-
Las que no se ven, las dos primeras son:  (-3,3)  (1,-4) 

3.-

FIN CLASE 2

INICIO CLASE 3

ECUACIONES SIMULTÁNEAS - MÉTODO GRÁFICO

Ejemplo Ecuación Simultánea 1

Ejemplo Ecuación Simultánea 2

PARTICIPACIÓN 3

TAREA 3

FIN CLASE 3

INICIO CLASE 4

VIDEOS DE EJEMPLOS - MÉTODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

 

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

FIN CLASE 4

FIN CLASE 5

TRINOMIO DE LA FORMA  x² + b x + c = 0

 TRINOMIO DE LA FORMA  ax² + b x + c = 0

Introducción Trinomios

Trinomios F.G. 

Trinomios F.G. y C.M.

FIN CLASE 5

INICIO CLASE 6

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

FIN CLASE 6

INICIO CLASE 7

Participación 7: Repaso-Matemáticas II

1.- Resolver:  x–(34 – x) + 4(x + 1.50) = 10 + 66

 

2.- Resolver la ecuación  (2x – 4) (2x + 4) = 4x (x + 2)

 

3.- Resolver la ecuación  ⅔x – 6 = ⅜ + x

 

4.- Resolver:  21(.35) + x(.65) = (x + 21) (.40) 

 

5.- Resolver:  10 – 3x ≥ x + 18  

 

6.- Resolver ecuación cuadrática por formula genera: x² - 56x = -768

 

7.- Resolver:  3x – 6 < 9   

 

8.- Resolver:      [1]  .80y = x + 1.80                   

                         [2]  .70y = x + .60

 

Tarea 7: Repaso-Matemáticas II

Cuestionario Matemáticas 2

  

1.- Resolver: 4x – (68 – 2x) + 8 (x + 2) = 20 + 132

2.- Resolver la ecuación (4x – 8) (2x + 8) = 4x (2x + 4)

3.- Resolver la ecuación ⅔x – 10 = 1/3 + 4x

4.- Resolver: 46 (.35) + 4x (.65) = (x + 42) (.80)

5.- Resolver: 36 – 6x ≥ 3x – 36

6.- Resolver ecuación cuadrática por formula genera: x² - 56x + 768 = 0


7.- Resolver (Eliminación y Determinantes):     [1]  2x –1.60y = 3.60
                                                                           [2]  2x –1.40y = 1.20


8.- Resolver la siguiente ecuación x² – 30x – 99 = 0

9- Resolver la ecuación: (7x – 2) (5x + 3) = – 54 + 23x + 35x²

10.- Juan compro y pago por 7 camisas $1568, pagando de IVA por cada camisa $30. ¿Cuánto pago por cada camisa?

11.- Resolver: 33 – 12x < – 3x + 99

12.- Resolver (Grafico):   [1]  2x - 6y =  18
                                        [2] 4x + 2y = –20

13.- Si se tiene $240 en 33 billetes de a $5 y de a $2 ¿Cuántos billetes son de $2 y cuántos de $5? Resolver por Método de Eliminación.

 

FIN CLASE 7

FIN CLASE 8

Evaluación Matemáticas II

EXAMEN MATEMÁTICAS II

FIN 

CURSO IV

MATEMÁTICAS III

OBJETIVO

 Analizar y aplicar la Geometría y la Trigonometría, a partir del uso de sus principios, lemas, teoremas y ley en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Primero, realiza portada en libreta o en carpeta, de la materia correspondiente. (Portada libre, anotando porcentajes de evaluación)

Inicio Clase 1

UNIDAD I

Fin Clase 1

Inicio Clase 2

EJEMPLOS DE REPASO:

ÁNGULOS

Ángulos y Partes de Circunferencia

ÁNGULOS ALGEBRAICOS

ÁNGULOS DE TRIÁNGULOS ALGEBRAICOS

Ejemplo Triángulo Algebraico

Paralelas con Secantes

Ejemplo Paralela con Secante

Inicio Clase 2

Inicio Clase 3

EJEMPLOS: 

Repaso Teorema de Pitágoras

Introducción-Perímetro-Área-Volumen

Repaso de Geometría

Repaso de Volumen

Repaso de Geometría

Fin Clase 3

Inicio Clase 4

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJEMPLO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Fin Clase 4, 29/Abril/21

Inicio Clase 5

PARTICIPACIÓN 5 - Resolver los siguientes ejercicios.

Fin Clase 5

Inicio Clase 6

Fin Clase 6

Inicio Clase 7

Fin Clase 7

Inicio Clase 8

Fin Clase 8

Inicio Clase 9

Repaso, ejercicios a resolver:

1.- Expresar en radianes un ángulo de 380° .

     a) En forma aproximada.                          b) En forma exacta.               

2.- Calcular ángulos.                    

                                                            

3.- El triángulo ABC es semejante al DEF, calcular sus lados.     

                                             

4.- Resolver por Teorema de Pitágoras, hallar el valor de a y sus ángulos.                  

5.- Hallar la medida de los ángulos internos de un (11lados) tridecágono regular (dibujar).

6.- Hallar el número de diagonales y trazarlas para un (9lados) decágono (dibujar).

7.- Hallar el valor de Sen2099°.                                                                 

8.- Dado la hipotenusa y un ángulo, calcular lo que falta, c=60cm, θ=39°.

9.- Expresar en radianes un ángulo de 580° .

     a) En forma aproximada.                         b) En forma exacta.               

10.- Calcular ángulos.      

                                                                                                                      

11.- Hallar la medida de los ángulos internos de un decágono regular.

12.- Hallar el número de diagonales y trazarlas para un eneágono. 

Fin Clase 9

Inicio Clase 10

EVALUACIÓN

Fin

CURSO V

MATEMÁTICAS IV

FUNDAMENTACIÓN

  La asignatura Matemáticas IV aborda el estudio de la Geometría Analítica, porque estos conocimientos serán básicos para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral. La importancia de esta asignatura radica en convertirse en herramienta importante y necesaria en la resolución de problemas y, que además junto con la Aritmética, constituya el fundamento teórico-metodológico para las asignaturas posteriores, ya que se han establecido como contenidos integrales, esto es, desde el primer hasta el sexto semestre, y siguiendo el mismo orden, la enseñanza de la Aritmética, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo.

El estudio de Matemáticas IV permite una visualización geométrica de los fenómenos que se presentan en su entorno, así como, su interpretación por medio de la construcción de modelos matemáticos. Por ello, el programa aborda el estudio de la Geometría y la Trigonometría, las cuales permitirán la representación y estudio de los fenómenos físicos, químicos y biológicos y, donde el manejo del Álgebra y la Geometría Euclidiana constituyen el fundamento teórico metodológico.

 OBJETIVO: Resolver problemas teórico-prácticos, a partir de las ecuaciones: ordinaria y general de la Recta y Circunferencia, y de las ecuaciones ordinarias de la Parábola y Elipse.

INICIO CLASE 1

  UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

 GEOMETRÍA ANALÍTICA

 Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.

 La Geometría Analítica

La Geometría Analítica que, como sabemos, conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa; al decir de Descartes, la expresión de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigüedad esta vinculación se trató de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discípulo de Eudoxo, se supone que conocía algo de geometría analítica; aunque con las limitaciones impuestas al álgebra por los griegos es difícil que esto haya sido muy desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en su famosa obra Las Cónicas, y quien vivió alrededor de los años 262 y 190 a.C., usó rectas de referencia para puntos, también un diámetro y una tangente a la misma para expresar esos puntos; es decir, algo parecido a lo que en geometría analítica moderna hacemos cuando usamos los ejes de coordenadas. También Pappus y Omar Khayyam los usaron en su resolución de ecuaciones cúbicas.

Parte de la obra de Las Cónicas fue traducida por los árabes y fue introducida en Europa precisamente por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un científico amigo de Newton.

Descartes

Muchos otros matemáticos hicieron algunos avances en esta relación entre álgebra y geometría durante esta época. Giovani di Casoli, Nicole Oresme (c. 1323-1382) y el mismo Galileo habían tratado de establecer representaciones gráficas de conceptos como los de tiempo, rapidez, distancia y velocidad; sin embargo, fue René Descartes quien dió el impulso definitivo en esta dirección a la geometría. Subrayemos que Descartes es considerado el primer filósofo moderno y, por eso mismo, debe interpretarse que la geometría analítica corresponde al espíritu de lo que ya es una nueva era en el desarrollo de la sociedad occidental.

La obra de Descartes es auténticamente revolucionaria. Podemos decir que el método que él proponía se reduce a tres pasos:

1- La expresión de un problema geométrico en forma algebraica.

2- Resolución de las ecuaciones algebraicas que corresponden al problema geométrico.

3- Construir o interpretar geométricamente lo que planteaba la solución.

Descartes se dice que buscaba liberar a la geometría del exceso de figuras, pero también buscaba darle sentido o significado al álgebra por medio de la geometría. Fue revolucionario                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                René Descartes  

    Descartes al establecer que una curva se construye con solamente ofrecer una ecuación algebraica. Recordemos que en la Antigüedad para que una curva existiera era necesario que hubiera un procedimiento con regla y compás para poderla construir.

Fermat. Se le atribuye también la creación de la geometría analítica a Pierre de Fermat, quien escribió sobre estos temas antes incluso que Descartes hubiera publicado su obra seminal sobre el tema, pero que, desafortunadamente, fue publicada de manera póstuma posteriormente a la obra de Descartes.

El Álgebra

Lo importante a subrayar acá es el uso de los métodos algebraicos. Podríamos decir que hasta el siglo XVII el álgebra estuvo subordinada a la geometría y a partir de este momento el rol se invirtió y, con ello, se dio un cambio sustancial en la historia de las matemáticas.

                             SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, el eje horizontal llamado eje de las abscisas o eje x. El eje vertical llamado eje de las ordenadas o eje y. En el plano se pueden graficar cualquier punto P con coordenadas P(x,y).

PARTICIPACIÓN 1 - COPIAR EJEMPLOS DESDE AQUÍ

 

                                                                                                  Eje yEje Vertical


                                      Eje Horixzontal                          -6   -5  -4   -3    -2  -1           1   2     3    4    5    6         Eje x

Ejemplo: Graficar si, las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F son respectivamente: A (-6,3), B (5,4), C (3,0),  D (- 4,-2), E (5,-4) y F (0,-6).

 

Despeje de Ecuación

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

 

TERMINAR DE COPIAR EJEMPLO DESDE AQUÍ

TAREA 1

FIN CLASE 1

INICIO CLASE 2

 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJEMPLO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

TAREA 2

FIN CLASE 2

INICIO CLASE 3

 FORMAS DE ECUACIÓN DE UNA RECTA

v  Ecuación punto-pendiente.

y – y₁ = m (x – x₁)

v  Forma pendiente-ordenada al origen.

     y = mx + b

v  Forma general de la ecuación de una recta.

Ax + By + C = 0

v  Forma simétrica de la ecuación de una recta.

x + y =1

a     b

Ecuaciones de Recta 1

Ecuaciones de Rectas 2

Ecuaciones de Recta 3

PARTICIPACIÓN 3

Resolver los siguientes ejercicios. a) Hallar la ecuaciones de recta que pasa por el punto P (3, -5) y su pendiente es m = 2. b) Hallar la ecuaciones de recta que pasa por el punto P(-2, -3) con pendiente m= -3/5.

TAREA 3

Hallar las ecuaciones de recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Escribir la ecuación en las formas pendiente-ordenada al origen, forma general y forma simétrica. (No todas las ecuaciones se pueden escribir en la forma simétrica). a) P(5, -7), m = - 4 b) P(1/2, -4), m = 3 c) P(- 4, - 4), m = -3/4 d) P(3, -3), m = -1 e) P(0, -5), m = 7/8

FIN CLASE 3

INICIO CLASE 4

FIN CLASE 4

INICIO CLASE 5

FIN CLASE 5

INICIO CLASE 6

REPASO

Resolver los siguientes ejercicios.

1.- Hallar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los  Puntos A (5,-6) y B (-4,3).       

2.- Hallar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los  Puntos A (3,4) y B (-4,-3). 

3.- Hallar la distancia entre los puntos A (2, -2) y B (4, -6)

4.- Hallar el ángulo entre las rectas 4x-2y=10 y x+6y=-8.

5.- Hallar la distancia entre las rectas 2x+4y-8=0 y 3x+6y+9=0. 

6.- Hallar la distancia entre los puntos A (-3, 2) y B (-4, -7)

7.- Hallar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los  Puntos A (5,-7) y B (-4,3).       

8.- Hallar las formas, de ecuación de recta si A(-2, 5) y m = -3/4 

9.- Hallar la distancia entre las rectas 2x+4y-8=0 y 3x+6y+9=0.  

10.- Hallar las formas, de ecuación de recta si A(2, -5) y m = -3/2   

11.- Investigar ejercicios de circunferencia con centro en el origen.  

12.- Investigar ejercicios de circunferencia con centro, distinto del origen.  

13.- Investigar ejercicios resueltos (2) de Parábola.

14.- Investigar ejercicios resueltos (2) de Hipérbola.

15.- Investigar ejercicios resueltos (2) de Elipse.

FIN CLASE 6

INICIO CLASE 7 

Evaluación Matemáticas IV

FIN

CURSO VI

MATEMÁTICAS V

Objetivo

Dotar al estudiante de herramientas analíticas que le permitirá el análisis de fenómenos de toda índole, bajo la perspectiva del conocimiento de los conceptos propios del cálculo; así como ejercitar la utilidad de estas bajo la resolución de ejercicios de aplicación.

Inicio Clase 1

UNIDAD I

GRÁFICA DE FUNCIONES

Ejemplos:

Representación de Funciones

GRÁFICA DE FUNCIONES LINEALES

Gráfica de la Función Lineal 

Gráfica de la Función Lineal 1

Gráfica de la Función Lineal 2

GRÁFICA DE FUNCIÓN CUADRÁTICA MEDIANTE LA TABLA DE VALORES

Gráfica Función Cuadrática con Tabla

GRÁFICA DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Gráfica de la Función Cuadrática

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA


Fin Clase 1

  

Inicio Clase 2

PARTICIPACIÓN 2

TAREA 2

EJEMPLO DE, OPERACIONES CON FUNCIONES

EJEMPLO DE, OPERACIÓN CON FUNCIÓN COMPUESTA

Fin Clase 2

Fin Clase 3

LIMITES

PARTICIPACIÓN 3

Repaso de Trinomios

Ejemplo de Limites

Fin Clase 3

Inicio Clase 4

OPERACIONES CON DERIVADAS (CLASE)

Estos, ejemplos resueltos, pasarlos a la libreta de apuntes, ok.

Introducción a la Derivada

EJEMPLOS RESUELTOS, DE DERIVADA

VÍDEOS DE SOLUCIÓN

Ejemplo de Derivada (9)

Ejemplo de Derivada (10)

Ejemplo de Derivada (11)

TAREA

NOTA: y = f(x)

Fin Clase 4

Inicio Clase 5

Ejemplos Derivación Directa

a)

b)

c)

d)

e)

Fin Clase 5

Inicio Clase 6

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejemplo de Fracciones Básicas

Ejemplos de Fracciones

Resolver, los siguientes ejercicios, de fracciones.

Fin Clase 6

Inicio Clase 7

Repaso Cuestionario

Fin Clase 7

Inicio Clase 8

EVALUACIÓN

Fin

CURSO VII

MATEMÁTICAS VI

Objetivo

Dotar al estudiante de herramientas analíticas que le permitirá el análisis de fenómenos de toda índole, bajo la perspectiva del conocimiento de los conceptos propios del Cálculo Diferencial e Integral; así como ejercitar la utilidad de estas bajo la resolución de ejercicios de aplicación.

Inicio Clase 1

REPASO DE GRÁFICAS

Actividad de clase, los ejemplos siguiente, transcribirlos a la libreta de apuntes y grafique las siguientes funciones.

Ejemplos: Grafique, las siguientes funciones.

a) y = 3x + 2,   b) y = x³ .

Solución:

a) y = 3x + 2

Una tabla de valores es:

x	y
-2	-4
-1	-1
0	2
1	5
2	8

La gráfica es: 

b) y = x³

Una tabla de valores es:

x	y
-3	-27
-2	-8
-1	-1
0	0
1	1
2	8
3	27

Su gráfica es:

 

  

PARTICIPACIÓN 1

Graficar:

a) y = x² – 2x – 6 ,           b) y = –x² + x ,       

c) y = 2x - 1 ,          d) y = –x² ,              e) y = x² .

 TAREA 1      

Graficar:

a) y = 1/x² ,           b) y = x² –3x + 4 , 

c) y = –2x +1 ,          d) y = x³ ,         e) y = –x³ –3 .

Fin Clase 1

Inicio Clase 2

PARTICIPACIÓN 2

SUMATORIA DE RIEMANN

Ejemplos:

Introducción Sumatorias de Riemann

Ejemplos Sumatoria de Riemann

Propiedades Sumatoria de Riemann (Fórmulas)

Ejemplos Sumatoria de Riemann

Sumatorias de Riemann

Desarrollo Sumatorias de Riemann

TAREA 2

Ejemplos y Tarea, Sumatoria de Riemann

Formulario, Ejemplo y Tarea, Sumatorias de Riemann

Fin Clase 2

Inicio Clase 3

INTEGRACIÓN DIRECTA

Integración Directa

Participación 3

DOBLES Y TRIPLES INTEGRALES

Dobles Integrales

Triple Integral

Triple Integral con Fracción

Tarea 3

Fin Clase 3

Inicio Clase 4

AREA BAJO LA CURVA

Participación 4

Tarea 4

Fin Clase 4

Inicio Clase 5

Derivación y Comprobación con Integrales.

Participación 5

Tarea 5 - Cuestionario

Fin Clase 5, 10/Mayo/2021

Inicio Clase 6

Tarea 5 - Cuestionario

 Participación 6

 Tarea 6

Fin Clase 6

Inicio Clase 7

EVALUACIÓN CUESTIONARIO

Fin Clase 7

Inicio Clase 8

EVALUACIÓN FINAL

Fin