Asesoría M-InsOri

 

Asesoría Matemáticas

LOS NÚMEROS REALES

La Recta numérica

Conjunto ordenado de números que se escribe de forma ordenada sobre una línea horizontal, con marcas a igual distancia, en donde se anotan los números.
Hacia la derecha del cero, se colocan los números positivos y hacia la izquierda del cero, los negativos.

Trazamos la recta L y elegimos un punto sobre ella como origen o cero, tomamos un segmento arbitrario como unidad (U).

Relación de orden

La serie de los números naturales está ordenada de menor a mayor. Así, al ver una serie de números ordenados, podemos saber que los anteriores a un número son menores y los que están ordenados después, son mayores que ese número.

Ejemplo:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
Sabemos que los números que están antes del 6, son menores a éste (1,2,3,4, y 5) y que los que están colocados después, son mayores, incluso aunque no estén escritos. (Por ejemplo el 25 es mayor que 6)

Números Reales

Los primeros números que aparecieron históricamente fueron los números naturales, utilizados para contar. medir, pérdidas y ganancias y profundidades requerimos el 0 y los números enteros negativos, que junto con los naturales forman el conjunto de los enteros.

 En mediciones más precisas se utilizan otro números como los racionales e  irracionales que en conjunto forman a los números reales.

 

NÚMEROS NATURALES._ Son aquellos números que utilizamos para contar.

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…}

 

NÚMEROS  ENTEROS._ Tienen parte decimal nulo.

E = {…-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5…}

NÚMEROS RACIONALES._ Se pueden expresar como la división de  dos enteros.

D = {x/x = a ÷ b; a, b Î E, a ≠ 0}

Algunos elementos de D son:

D = {3/4, -8/5, -6, 0, 1.43, -2.454545…, 2938/34089…}

Entre los números racionales se incluyen:

Todos los enteros positivos y negativos. Ejemplo: 4, -7, 0, 345, etc.

Toda fracción (formada por enteros). Ejemplo: 3/5, 187/456,                                             

Todo número decimal finito. Ejemplo: 3.657, -.2934, 35.39475…

Todo número decimal infinito periódico. Ejemplo: 2.3333…,4.363636…, 0.384384384…, etc.

 

NUMEROS IRRACIONALES._ No se pueden escribir como la división de dos enteros.

Algunos números irracionales son:

Q = { p, e, √2, √3, √5….}

Contiene a los números con raíces no exactas.

 

NÚMEROS REALES._ Contiene tanto a los números racionales como a los números irracionales.

Algunos números reales son:

R = {3,-5, 0,3/5,-9/37,p, √7, 1.43,3.656565…, etc.}

REGLA DE SIGNOS PARA SUMA Y RESTA

REGLA DE SIGNOS PARA SUMAR O RESTAR

+	con	+	=	+       Se suman y se deja el mismo signo
-	con	-	=	-        Se suman y se dejan el mismo signo
+	con	-	=	Se deja el Signo  de mayor valor numérico
-	con	+	=	Se deja el signo de mayor valor numérico

Operaciones Fundamentales con Enteros y Fracciones.

SUMA Y RESTA DE REALES

Ejemplos aplicando las reglas de los signos:

1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si  los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:              5 + 8 = 13                    5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:              5 - 8 = -3                      5 - (-8) = 13

3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:              5 x 8 = 40                     5 x -8 = -40

En esta sección aprenderemos cómo realizar las operaciones entre números reales en una forma sencilla. Aquí te proponemos una forma sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:

Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. Ejemplo: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera -3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ejemplo:                         5 – 3 = 2                            -5 + 3 = -2

Mira estos otros ejemplos:

-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3                    o   

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3

a) -4-2-5-10=  -21                                    b) 4+2+5+10= 21

En estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así: 

-4+5-10-20+15-7+9 = ?

-4-10-20-7 = -41       5+15+9=29       Y luego restar:      -41+29 = -12

Nótese, que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

REGLA DE SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

LA DE SIGNOS PARA MULTIPLICAR + * + = + - * - = + + * - = - - * + = -

REGLA DE SIGNOS PARA DIVIDIR + ÷ + = + - ÷ - = + + ÷ - = - - ÷ + = -

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Ejemplos aplicando las reglas de los signos:

Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y división, es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. 

Ejemplos:

-5*-3 = 15  -5*3 = -15	5*3 = 15  5*-3 = -15
15÷5 = 3 -15÷5 = -3	15÷-5 = -3 -15÷5 = -3

REPASO DE OPERACIONES BÁSICAS

Leyes de Signos: Suma/Resta

Ejemplos: Suma/Resta

Ejemplo: Suma/Resta

Leyes de Signos: Multiplicación/División

Ejemplos: Multiplicación/División

Operaciones Aritméticas Complejas

Ejemplos: Operaciones con, Suma, Resta y Multiplicación

Introducción Operaciones con Fracciones

Ejemplos: Operaciones con Fracciones

Ejemplo: Represente en la recta numérica los siguientes números racionales.

a. b. c. d.

Ejercicio: En cada caso escribe el conjunto exhibiendo todos los elementos.

1. {Números enteros pares entre -5 y 11}

2. {Números enteros cuyo cuadrado es menor que 47}

3. {Números primos entre 34 y 60}

4. {Números enteros negativos mayores que -8]

5. {Números naturales impares menores que 16}

OPERACIONES BÁSICAS

Suma de números naturales

  a b c d

1.

+   311 

540 

132 

+  

330 

+   731 

831 

+   608 

826 

Multiplicación de números naturales

  a b c d

1. 11 x 7 = __ 4 x 7 = __ 6 x 6 = __ 7 x 11 = __

Restar decenas de centenas de números naturales

  a b c d

1. 200 - 60 = __ 400 - 30 = __ 100 - 60 = __ 500 - 50 = __

Multiplicar por decenas redondas de números naturales

  A b c d

3Matemáticas I

1. 96 x 90 = __ 20 x 80 = __ 30 x 12 = __ 80 x 25 = __

División con residuos de números naturales

a b c

__ ÷ 9 = 10 R 7 __ ÷ 3 = 33 R 0 40 ÷ __ = 3 R 4

OPERACIONES CON FRACCIONES

Suma de fracciones con distinto denominador

1/2 + 1/3 =

1/3 + 1/4 =

1/2+2/3+3/4=

Sumar números mixtos

3 y 3/5 + 2 y 1/3 =

2 y 1/3 + 1 y 1/5 =

7 y 1/4 + 6 y 1/3 =

Restar fracciones con distinto denominador

2/3 -1/4 =

5/6 - 3/4 =

7/9 - 1/6 =

Restar números mixtos

2 y 5/6 - 1 y 2/6 =

1y 3/7 - 1 y 1/7 =

3 y 1/3 - 2 y 1/2 =

Multiplicación de fracciones

1/3 x 2/5 =

2/3 x 1/7 =

División de fracciones

2/3 : 1/2 =

4/3 : 1/5 =

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Paréntesis ( ) Corchetes [ ] Llaves { }

Ejercicios de símbolos de agrupación:

4Matemáticas I

1.- [3 – ( 6 – 2 + 8 ) + 5 + 6 * 3 ] 3 =

2.- { 5 – 6 * 3 + [ 42 – 41 ] [ 1 ( 8 * 1 ) ] 8/2 + 54 – 50 } ( –2 ) =

Problemas de Aplicación 

Operaciones con Polinomios

REPASO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS.-  Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Ejemplo 3.3: Simplificar:       a) 4x²y + 3x²y – 2x²y

                                            b) 3x + 2y – x + 5y

                                      c) 3x + 2y – 1

                                            d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes: 

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes  [ ], Llaves  { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar        3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución:      Suprimiendo los signos de agrupación queda:     3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

                                                                                          = -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

                                                                                          = -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar:    x + (y – z) –  [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución:   Suprimiendo los paréntesis       x + y – z –  [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]     

                  Suprimiendo los corchetes     = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z         

                   Simplificando                         = -x + 2y

Actividades a realizar 1.1

Simplificar las expresiones siguientes

1)    6x – 10x	2)    -5ab – 7ab + 2.5	3)     4.9y + 5.3y – 2.8y
4)    4a – 2a + 5a	5)    x – 5 – 10x + 5	6)    4(z + 5) + 8z
7)    9y + 3 + 11y + 4	8)    3x2 + 2x – 3x2 + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias:   xⁿ  x^m = x^n+m

Ejemplos:     x³ x⁴ = x⁷,      y y³ = y⁴,    z z⁶ z³ = z¹⁰     

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar               7x²y³  por  -8x³y⁵z²

 

Solución:        (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar:           -25a⁵c⁴  por -24a³b⁴c

Solución:        (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) =  600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.  

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² –  5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar  8xy⁴z⁵  por -9x³z² – 5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 1.2

      Resolver las siguientes operaciones.

1.      (2x – 1) (3x + 2)	2.      (5y – 3) ( 8y – 6)	3.      (3x – 9y) (2z – 5w)
4.      (4a + 8) (7a + 9)	5.      (6b + 5) (9b – 10)	6.      (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8.      (c3 – 2d5) (3c4 + ½ d6)

PRODUCTOS NOTABLES

Hay ciertos productos de polinomios que aparecen con mucha frecuencia, y cumplen reglas fijas y

cuyo resultado se puede escribir por simple inspección.

◊ BINOMIOS AL CUADRADO

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

Al elevar un binomio al cuadrado se producen tres términos:

1) El cuadrado del primer término

2) El doble producto del primero por el segundo

3) El cuadrado del segundo término

Ejemplo 3.12: Desarrollar (3x – 5y) 2 Solución: El primer término a = 3x, El segundo término

b = -5y

a 2 9x 2

2ab 2(3x)(-5y) = -30xy 2

b 2 25y 2

Por lo que el desarrollo es: (3x – 5y) 2 = 9x 2 – 30xy + 25y 2

Ejemplo 3.13: Desarrollar (6n + k 2 ) 2 Solución: En este caso a = 6n, y b = k 2

a 2 = 36n 2 . 2ab = 2(6n) (k 2 ) =12k 2 n, y b 2 = (k 2 ) 2 = k 4

por lo que (6n + k 2 ) 2 = 36n 2 + 12 k 2 n + k 4

◊ BINOMIOS AL CUBO

(a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3

Ejemplo 3.14: Desarrollar (2x + 7y) 3 Solución: a = 2x y b = 7y, entonces a 3 = 8x 3 ,

3ab 2 = 3(2x)(7y) 2 = 294xy 2

3a 2 b= 3(2x) 2 (7y) = 84x 2 y, b 3 = 343y 3

Por lo que (2x + 7y) 3 = 8x 3 + 84x 2 y + 294xy 2 + 343y 3

Ejemplo 3.15: Desarrollar (5 – 4n 2 ) 3 Solución: a = 5 y b = -4n 2

a 3 = 25 3ab 2 = 3(5) (-4n 2 ) 2 = +240n 4

3a 2 b = 3(5) 2 (-4n 2 ) = -300n 2 b 3 = (-4n 2 ) 3 = -64n 8

Por lo que (5 – 4n) 3 = 25 – 300n 2 + 240n 4 – 64n 8

◊ BINOMIOS CONJUGADOS

(a + b) (a – b) = a 2 – b 2

Los términos son iguales, excepto por el signo del segundo término.

Ejemplo 3.16: Desarrollar (3x + 4y) (3x – 4y) Solución: a = 3x, entonces a 2 = 9x 2

b = 4y, entonces b 2 = 16y 2

Por lo que (3x + 4y) (3x – 4y) = 9x 2 –16y 2

Ejemplo 3.17: Desarrollar (1 – 7x 3 y) (7x 3 y + 1)

Solución: La expresión no tiene la forma de binomios conjugados, pero si se invierte la suma (la cual

no se altera), obtenemos binomios conjugados. (1 – 7x 3 y) (1 + 7x 3 y) = 1 – 49x 6 y 2

Actividades a realizar, Desarrolla los siguientes productos.

1) (a – 9)(a +9) 2) (7x + 1)(7x – 1)

3) 33cc 4)(8z – 9w) 2

8Matemáticas I

5)(4t + 9)(4t – 9) 6)(x + 5) 3 7)(5x – 4y) 2 8)(4y + 1/6) 2

9(x 2 – 5) 2 10)(x -1) 3 11)(x/3 – ½)(x/3 + ½)

12) 23x

13)(2x – 1) 3 14)(x 2 + 1)(x + 1)(x – 1) 15)(x + y + 1)(x + y – 1)

16) 232x

17)(t 3 – 4)(t 3 + 1) 18)(3x – 1)(1 + 3x) 19)(x – ½) 2 20)(1/2 x – y/2) 2

DIVISIÓN

Regla de los exponentes para la división de potencias: a n /a m = a n – m

Ejemplo 3.18: x 7 /x 3 = x 4 , a 8 / a 5 = a 3 , y 6 /y = y 5

Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes y se aplica el teorema para las constantes.

Ejemplo 3.19: Dividir a) 24x 5 y 7 z entre 6x 3 y 4 b) 12x 3 y 5 z 2 entre 18x 3 y 4

Solución: a) 24x 5 y 7 ÷ 6x3y 4 = 4x 2 y 3 , b) 12x 3 y 5 z 2 ÷ 18x 3 y 2 = ⅔ y 3 z 2

En el inciso b el coeficiente ⅔ es el resultado de la simplificación de 12/18. La literal y fue

eliminada debido a la igualdad de los exponentes.

Para dividir dos polinomios se siguen los siguientes pasos:

1. Se ordenan ambos polinomios en orden decreciente respecto al grado de la variable.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el

primer término del cociente.

3. Se suma del dividendo el inverso aditivo del producto del divisor por el primer término del

cociente y se obtiene un primer residuo.

4. Se baja el siguiente término del dividendo sumándoselo al residuo anterior.

5. Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, obteniendo

el segundo término del cociente.

6. Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor al del divisor.

7. Comprobar el resultado verificando que:

Cociente × Divisor + Residuo = Dividendo

Ejemplo 3.20: Calcular (24y 3 – 41y 2 – 10) ÷ (3y – 4)

Solución: Escribimos los polinomios en orden decreciente de acuerdo a los exponentes de y.

Escribimos ceros para las potencias de y que no aparecen en el dividendo.

Paso 1 _8y 2 _________________ Calcular 24y 3 ÷ 3y

3y - 4 ) 24y 3 – 41y 2 + 0y - 10

-24y 3 + 32y 2 Inverso aditivo del producto

Suma -6y 2 + 0y 8y 2 por 3y – 4

Paso 2

_8y 2 – 3y___ Calcular 9y 2 ÷ 3y

3y – 4 )24y 3 – 41y 2 + 0y – 10

-24y 3 + 32y 2

-9y 2 + 0y Bajar 0y

9y 2 – 12y Inverso aditivo del producto

Suma -12y – 10 3y por 3y – 4

Paso 3

_8y 2 – 3y – 4 _______ Calcular -12y entre 3y

3y – 4 )24y 3 – 41y 2 + 0y – 10

-24 3 + 32y 2

-9y 2 + 0y

9y 2 – 12y

9Matemáticas I

-12y – 10 Bajar -10

12y – 16 Inverso aditivo del producto

Suma y Residuo -26 -4 por 3y - 4

Actividades a resolver, Simplificar las siguientes expresiones

1. 60

12



2. 3

4

15

6

3. 7

4

b

b

4. 137

81712

44

11

zx

zyx

5. 64

32



6. 20

13

d

d



7. 42

8

a

a



8. 445

176415

2

56

xyzw

zyxw

9.



1123

5

492

75

12

15

cba

caba

10.



462

3

3428

34

324

yxy

yxyx



11.



31026

4

85

375

49

62

strrst

trstsr

2.- En los siguientes ejercicios realiza la división indicada

1. 23

6562





a

aa

2. 15

817102





y

yy

3. w

ww





2

4432

4. y

yy





3

1083

5. 4

10245





y

y

6. 443

473

2

23





yy

yy

7. 1

234





x

xx

8. 32

144122





z

zz 9.

432

243831132

2

234





xx

xxxx

10. 23

34256

256

1338826524

bbb

bbbbbb





11. 1

1048223





x

xxx

12. 253

82445196

2

2345





mm

mmmmm

13. 323

4322345

256

31252624

nbnb

bnnbnbnbb





14. 32

1217103

2

23





yy

yyy

15. 58

15821424832

4

23456





xx

xxxxxx

FACTORIZACIÓN

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que

multiplicadas entre sí dan como resultado la primera expresión.

A la acción de hallar estos factores se le llama factorizar.

Los tipos mas frecuentes de factorización son: a) Factor común

b) Diferencia de cuadrados

c) Trinomios (De las formas x 2 + bx +c y ax 2 + bx +c)

d) Suma y diferencia de cubos

◊ FACTOR COMÚN

Cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común distinto de 1, se aplica la inversa

de la propiedad distributiva: ab + ac = a(b + c).

El factor común debe ser al Máximo Común Divisor (MCM) de los términos.

Ejemplo 3.21: Factorizar 3a 3 – a 2

Solución: El MCM de los términos anteriores es a 2 (se toma las literales comunes a todos los

términos con grado menor). Por lo que: 3a 3 – a 2 = a 2 (3a – 1)

10Matemáticas I

Ejemplo 3.22: Factorizar 34ax 2 + 51a 2 y – 68ay 2

Solución: El MCD de los términos anteriores es 17a, por lo que: 34ax 2 + 51a 2 y – 68ay 2 = 17a (2x 2 +

3ay – 4y 2 )

Ejemplo 3.23: Factorizar 3x (5x – 3) – 8 (5x – 3)

Solución: El MCM es (5x – 3) por lo que: 3x (5x – 3) – 8 (5x – 3) = (5x – 3) (3x – 8)

◊ FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Son expresiones que tienen factor común solo en grupos.

Ejemplo 3.24: Factorizar 3b – 6bx – 5c + 10cx

Solución: Se factorizan por un lado 3b y -6bx, y por otro -5c + 10cx

3b – 6bx – 5c + 10cx = 3b (1 – 2x) – 5c (1 – 2x)

= (1 – 2x) (3b – 5c). Al ser (1 – 2x) factor común.

◊ DIFERENCIA DE CUADRADOS

a 2 – b 2 = (a + b) (a – b)

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por

la diferencia de los mismos.

Ejemplo 3.25: Factorizar 16 – 25y 2 Solución: La raíz cuadrada de 16 es 4.

La raíz cuadrada de 25y 2 es 5y.

Entonces 16 – 25y 2 = (4 + 5y) (4 – 5y)

Ejemplo 3.26: Factorizar 100m 2 n 4 – 121y 6 Solución: La raíz cuadrada de 100m 2 n 4 es 10mn 2

La raíz cuadrada de 121y 6 es 11y 3

Entonces 100m 2 n 4 – 121y 6 = (10mn 2 – 11y 3 ) (10mn 2 + 11y 3 )

Ejemplo 3.27: Factorizar (3x – 2) 2 – 9 Solución: La raíz cuadrada de (3x – 2) 2 = 3x – 2

La raíz cuadrada de 9 es 3.

Entonces: (3x – 2) 2 – 9 = {(3x – 2) + 3} {(3x – 2) – 3} = {3x – 1} {3x – 5}.

ECUACIONES LINEALES.

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados

mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x 2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x 2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a

1).

Ejemplos:

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

2x

= 1 - x + 2

3x

Solución

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las

operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos

de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1.5.

Efectivamente: 3(-1.5) + 1 = -1.5 -2; -4,5 + 1 = -3.5. ¡Cierto!

Decimos en este caso que la ecuación tiene solución.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir

dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:

3x + 1 = x – 2

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y

restar x a los dos miembros:

3x +1 – 1 - x = x - x - 2 -1, que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que

llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el

mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo

o lo que está dividiendo multiplicando".

ECUACIONES SIN SOLUCIÓN

Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

x - 3 = 2 + x

Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta

independientemente del valor que tome x.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

Ejercicio 4.-

Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:

3x - 2 + x = 5x + 1 - x

ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES

Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

2x-1 = 3x + 3 – x – 4

Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es

cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x! Compruébalo sustituyendo x por

0, 1, -3 u otro valor que desees.

En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).

Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el

programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.

Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES

Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.

3x – 2 + x = 1 + 4x – 3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación

considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro

hacia afuera las operaciones.

12Matemáticas I

Veamos el siguiente ejemplo:

2x -[x -(x -50)] = x - (800 - 3x)

2x -[x -x +50] = x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.

2x -[50] = 4x -800 Reducimos términos semejantes.

2x -50 = 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.

2x -4x = -800 +50 Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones

inversas.

-2x = -750 Nuevamente reducimos términos semejantes

x = -750 = 375

         -2 Despejamos x pasando a dividir a -2, luego simplificamos.

¡¡¡CUIDADO!!!

Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes del signo de agrupación no afecta en nada a lo que este dentro de

este signo de agrupación. Por ejemplo:     +(3x – 5) = 3x – 5

b) Si por el contrario, tenemos un signo - antes del signo de agrupación, este signo afectara a todo

lo que este dentro del signo de agrupación. Todos los términos dentro del signo de agrupación

cambiarán de signo. Por ejemplo:     -(3x -5) = -3x + 5

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PRODUCTOS INDICADOS

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos indicados y luego se sigue

el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un

ejemplo:

5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10

5x – 15 - x +1 = x + 3 – 10

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los

paréntesis, nótese que al eliminar el paréntesis en -(x -1), se

cambio de signo por efecto del signo " - " exterior.

5x – x – x = 3 – 10 +15 – 1

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los

términos independientes al otro lado (empleamos operaciones

inversas.)

3x = 7 Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.

x =  37

Despejamos x pasando 3 a dividir.

Para resolver los productos indicados hemos empleado los criterios de multiplicación de un

monomio por un polinomio

Actividades a realizar

Resuelve las siguientes ecuaciones

01) x + 4 = 28 08)   15x - 40 - 5x - 20 = 0

02) y - 6.5 = 31 09)   16 - (- 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)

03) 8z = 40 + 3z 10)   - (7x - 2 + 12) + (- 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)

04) 10x = - 5x + 60 11)   - 18 - [3(x + 2) + 4] = 21 - [6( - 2x - 2) + 1]    

05) - 15y + 3 = - 36 - 18y 12) (x + 7)(x - 3) = x 2 + 3x – 16

06) 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12

13)   (x + 3)(x - 3) = (x + 6) 2

07) 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5      

   

INECUACIONES

DESIGUALDADES

Los números reales se pueden representar como puntos en la recta numérica.

Decimos que a es mayor que b (a > b) si en la recta numérica a se encuentra a la derecha de b.

 

a b

a > b

Ejemplo 1.9: Comparar los siguientes números:

a) 3 y -3 b) 1 y 5/3 c) -4 y 0 d) 2/3 y 10/15

Solución: Graficando estos puntos en la recta numérica encontramos que:

a) 3 está a la derecha de -3, entonces 3 > -3.

b) 1 está a la izquierda de 5/3, entonces 1 < 5/3

c) -4 está a la izquierda de 0, entonces -4 < 0

2/3 tiene el mismo lugar que 10/15, entonces 2/3 = 10/15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

PROPIEDADES DE ORDEN

1. Propiedad de tricotomía.- Si a y b son reales solo se cumple una de las siguientes afirmaciones:

i) a > b

ii) a < b

iii) a = b

2) Propiedad transitiva.- Si a < b y b < c, entonces a < c.

3) Propiedad aditiva.- Si a < b y c es cualquier número real, entonces:

a + c < b + c

4) Propiedad multiplicativa.- Si a < b y c > 0, entonces:

ac < bc

Si a < b y c < 0, entonces:

ac > bc.

Al multiplicar (o dividir) por un número positivo la desigualdad no se altera. Pero al multiplicar (o

dividir) por un número negativo, la desigualdad se invierte.

INECUACIONES

Poseen al menos una variable en la desigualdad.

SOLUCIÓN DE INECUACIONES

Es hallar los intervalos de valores que hacen que la desigualdad sea verdadera.

Ejemplo 1.11: Resolver 3x – 6 < 9

Solución: 3x – 6 < 9

Sumando 6 a ambos lados 3x – 6 + 6 < 9 + 6

Resolviendo 3x < 15

Multiplicando por 1/3 (1/3) 3x < (1/3) 15

x < 5

Solo los valores menores que 5 satisfacen la desigualdad original.

Ejemplo 1.11: Resolver 10 – 3x ≥ x + 18

Solución: 10 – 3x ≥ x + 18

Sumando -10 - x -10 – x + 10 – 3x ≥ x + 18 – 10 + x

- 4x ≥ 8

x ≤ 8/-4

x ≤ -2

Como el - 4 es negativo la desigualdad se invierte al cambiar de miembro.

32

35

1510

14Matemáticas I

Actividades a realizar

Resolver

1)  x + 7 > 9 2) 2x + 3  x + 6 3) -6x + 7  x + 9

4) -6x   -72 5) 31

x - 9  > 32

x + 6 6) -6x + 9 < -2x + 8

Ecuaciones Simultáneas

ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Una ecuación lineal con dos variables es de la forma Ax + By = C. Algunos ejemplos de este tipo de

ecuaciones son:

a) 3x + 2y = 24 b) 5x – y = 1 c) -5x + y = 12 d) 3x = 9 e) y = -2

Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones de la forma (x, y).

Ejemplo: Hallar 5 soluciones de la ecuación 4x – 3y = 12

Solución: Despejando y de la ecuación 4x – 3y = 12

-3y = 12 – 4x

Se asignan valores cualesquiera a x para obtener su respectivo valor de y.

*Al proceso de hallar las soluciones de una ecuación se le llama TABULACIÓN.

x y

3 0

0 -4

1

38

-

2

-6

6 4

La gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos variables representa una línea recta.

Ejemplo: Graficar las soluciones de la ecuación: 5x + 2y = 12

Solución: Despejando y 2y = 12 – 5x

Realizando la tabulación:

x y

0 6

-

2

1

1

2 1

4 -4

2

512x

y



3

412x

y



15Matemáticas I

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Repaso Ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Participación.

TRINOMIO DE LA FORMA  x² + b x + c = 0

 TRINOMIO DE LA FORMA  ax² + b x + c = 0

Introducción Trinomios

Trinomios F.G. 

Trinomios F.G. y C.M.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Repaso

1.- Resolver:  x–(34 – x) + 4(x + 1.50) = 10 + 66

 

2.- Resolver la ecuación  (2x – 4) (2x + 4) = 4x (x + 2)

 

3.- Resolver la ecuación  ⅔x – 6 = ⅜ + x

 

4.- Resolver:  21(.35) + x(.65) = (x + 21) (.40) 

 

5.- Resolver:  10 – 3x ≥ x + 18  

 

6.- Resolver ecuación cuadrática por formula genera: x² - 56x = -768

 

7.- Resolver:  3x – 6 < 9   

 

8.- Resolver:      [1]  .80y = x + 1.80                   

                         [2]  .70y = x + .60

 

Repaso

  

1.- Resolver: 4x – (68 – 2x) + 8 (x + 2) = 20 + 132

2.- Resolver la ecuación (4x – 8) (2x + 8) = 4x (2x + 4)

3.- Resolver la ecuación ⅔x – 10 = 1/3 + 4x

4.- Resolver: 46 (.35) + 4x (.65) = (x + 42) (.80)

5.- Resolver: 36 – 6x ≥ 3x – 36

6.- Resolver ecuación cuadrática por formula genera: x² - 56x + 768 = 0


7.- Resolver (Eliminación y Determinantes):     [1]  2x –1.60y = 3.60
                                                                           [2]  2x –1.40y = 1.20


8.- Resolver la siguiente ecuación x² – 30x – 99 = 0

9- Resolver la ecuación: (7x – 2) (5x + 3) = – 54 + 23x + 35x²

10.- Juan compro y pago por 7 camisas $1568, pagando de IVA por cada camisa $30. ¿Cuánto pago por cada camisa?

11.- Resolver: 33 – 12x < – 3x + 99

12.- Resolver (Grafico):   [1]  2x - 6y =  18
                                        [2] 4x + 2y = –20

13.- Si se tiene $240 en 33 billetes de a $5 y de a $2 ¿Cuántos billetes son de $2 y cuántos de $5? Resolver por Método de Eliminación.

 

TAREA 2

1.-

2.-
Las que no se ven, las dos primeras son:  (-3,3)  (1,-4) 

3.-

ECUACIONES SIMULTÁNEAS - MÉTODO GRÁFICO

Ejemplo Ecuación Simultánea 1

Ejemplo Ecuación Simultánea 2

PARTICIPACIÓN 3

TAREA 3

VIDEOS DE EJEMPLOS - MÉTODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

 

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

EXAMEN PARA INGRESO A NIVEL SUPERIOR (SON 5 SESIONES)

SESIÓN 1

Resolver los siguientes ejercicios.

1.- RESOLVER FRACCIONES:

a) 1/2 + 1/4  =                 b) 3/5  + 5/8 + 3/4  =          

2.- SIMPLIFICAR,  SUMA Y RESTA:     3xy – 5y +6,   3y – 2xy – 3,   3 –xy – 2y

3.- REDUCIR EXPRESIÓN ALGEBRAICA:         4 x² – 2{3x + 2[x - x(x - 3)]}

4.- RESOLVER TRINOMIO:           x² - 15x + 54

5.- RESOLVER TRINOMIO:          30x² + 13x - 10

6.- RESOLVER, SIMPLIFICAR:       (8n³ – 125)  /  (25 - 20n + 4n²)  =

7.- ECUACIÓN SIMULTANEA:      1]      7x+8y= 29

                                               2]     5x+11y=26 

8.- La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.

9.- La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años, era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales.

10.- ¿Qué expresión se debe restar de m⁴ – 3mn³ + 6n⁴ para que la diferencia sea 4m²n² - 8?

11.- MULTIPLICAR:    5a - 7b por a + 3b  

12.- DIVIDIR:   14x² - 12 + 22x entre 7x – 3  

13.- HALLAR VALOR DE X: 30x – (-x + 6) + (-5 x + 4) = -(5x + 6) + (-8 + 3x)

14.- La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Encontrar los números.

15.- Entre A y B tienen 1154 pesos y B tiene 506 menos que A ¿Cuánto tiene cada uno?

SESIÓN 2

INSTRUCCIONES:

·         Escucha las indicaciones del profesor.

·         Lee atentamente cada pregunta de la prueba.

·         Piensa y analiza antes de contestar.

A)    PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE: Responde  marcando la letra de la alternativa que consideres correcta y realiza los cálculos pertinentes que permitan determinar la respuesta.

01.- ¿Cuál es la cantidad que no puede expresarse con un número negativo?

a)    un año antes de la era de Cristo

b)    un desplazamiento hacia abajo

c)    un depósito en un banco

d)    un giro de una cuenta bancaria

02.- ¿Cuál de las siguientes sucesiones está ordenada correctamente de mayor a menor?

a)    7, 6, -5, -4

b)    10, 0, -1, -2

c)    -3, -2, 1, 2

d)    -4, -5, 2, 1

03.- Si un termómetro marca en la mañana una temperatura de -3º C y en la tarde marca 5 Grados más, ¿qué temperatura indica?

a)    -8

b)    8

c)    5

d)    2

04.- Una sustancia que está a 8º C bajo cero se calienta hasta llegar a una temperatura de 15º C. ¿Cuál es la variación de su temperatura?

a)    7º C

b)    23º C

c)    15º C

d)    8º C

05.- El resultado de   -4 – (-7) + (-8) + (-11) es:

a)    -16

b)    7

c)    -30

d)    -8

06.- Al resolver  (-18 – 2) • (-7 + 8) + (-12 : 3) se obtiene:

a)    -16

b)    24

c)    16

d)    -24

07.- El valor que adquiere la expresión (d : e) + (a – b + c) + e , si se considera que  a = -3 , b= -5 , c= 6, d= 8  ,  e= -4, es:

a)    2

b)    8

c)    6

d)    10

08.- Un ascensor que se encontraba en el piso 7, subió 3 pisos, luego bajó 6 y por último bajó  2. ¿En qué piso quedó finalmente el ascensor?

a)    en el piso 4

b)    en el piso 2

c)    en el piso 5

d)    en el piso 3

09.- De acuerdo al problema anterior, ¿cuántos pisos se desplaza el ascensor?

a)    4

b)    18

c)    16

d)    11

10.- Si  n y m son positivos con  m  mayor que  n, entonces  (n – m) es:

a)    par

b)    impar

c)    positivo

d)    negativo

11.- Un submarino se demoró 5 horas en llegar a -250 m con respecto al nivel del mar. Si cada hora bajó la misma cantidad de metros, ¿cuántos metros se sumerge en 3 horas?

a)    150

b)    -150

c)    50

d)    -50

12.- Un termómetro marca -18º C a las 6 de la mañana. Si la temperatura aumenta 3º C cada una hora, ¿cuánto marcará el termómetro al cabo de 9 horas?

a)    -9

b)    -45

c)    45

d)    9

13.- Si se multiplican cincuenta números negativos, siempre se obtiene un número:

a)    par

b)    impar

c)    positivo

d)    negativo

14.- Si  n es un número negativo, entonces  n • n • n   es:

a)    par

b)    impar

c)    positivo

d)    negativo

15.- Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor?

a) $8,884.50   b) $12,366.66   c) $12,370.00   d) $12,785.00   e) $13,660.00

SESIÓN 3

Resolver TEST Mental
Este test es original de Mensa Internacional. Fue adaptado al español por Mensa España y publicado en la revista ALGO en Enero de 1986. Tiene como máximo 15 minutos para responder las 10 preguntas. No se obtiene mayor puntuación por finalizar antes. Las respuestas erróneas no restan puntos.
Anote en papel sus respuestas.
1. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron el test de Mensa. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?
2. Si fueran dos horas más tarde faltaría para la medianoche la mitad de lo que faltaría si fuera una hora más tarde. ¿Qué hora es ahora?
3. PERA es a MANZANA como PATATA es a:
a) PLÁTANO
b) RÁBANO
c) FRESA
d) MELOCOTÓN
e) LECHUGA
4. Continúe la siguiente serie numérica con el grupo de los números (de entre los propuestos) que mejor la completan:

1 10 3 9 5 8 7 7 9 6 ? ?


a) 11 5
b) 10 5
c) 10 4
d) 11 6

5. ¿Cuál de las siguientes palabras se parece menos a las otras?
a) POEMA
b) NOVELA
c) PINTURA
d) ESTATUA
e) FLOR
6. ¿Qué palabra se obtiene al reordenar las teras SACPRAADAI?
7. ¿Cuál es el número que es la mitad de la cuarta parte de la décima parte de 400?
8. ¿Cuál de las frases que se indican a continuación significa aproximadamente lo mismo que el proverbio: "No cuentes los pollos hasta que salgan del cascarón"?
a) Algunos huevos tienen dos yemas por lo que no se pueden contar realmente huevos y pollos.
b) No se puede caminar por el gallinero para contar los huevos porque esto molestará a las gallinas y no pondrán huevos.
c) No es razonable realmente confiar en algo que no ha ocurrido todavía y que puede que no llegue a suceder.
d) Puesto que los huevos se rompen con tanta facilidad, puede que su recuento de los futuros pollos no resulte muy exacto.
9. Escriba en cada uno de los espacios entre paréntesis una palabra distinta de 3 letras que complete las que figuran a la izquierda y a la derecha de dicho paréntesis. Ejemplo, si colocáramos LAR en ESTE _ _ _ GURA formaríamos ESTELAR y LARGURA.
RIN _ _ _ DE
AC _ _ _ LO
10. ¿Cuál de las cuatro posibles opciones continúa la serie de figuras?




¿Ha finalizado el test?.
RESOLUCION DE PROBLEMAS
En el mundo cotidiano, el primer paso y en ocasiones el más difícil antes de resolver un problema, es el reconocimiento de que ese problema existe
Esto implica que los alumnos no sólo necesitan ayuda para resolver los problemas sino también para reconocerlos. Porque en ocasiones, los problemas se ‘inventan’ de manera tal que formar a los alumnos para que resuelvan problemas que fueron diseñados previamente para ellos, no los prepara, en efecto para realizar una selección por sí mismos de los problemas importantes. En conclusión, a los alumnos habría que enseñarles no solo la forma de resolver problemas sino la habilidad de ser capaces para reconocer los problemas que vale la pena resolver.
Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.
1. LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

De lenguaje español a lenguaje algebraico
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, x
cuya sexta parte constituyó su infancia. x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, 5
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
2. EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?

De lenguaje español a lenguaje algebraico
Si yo te tomara un saco x - 1
mi carga y + 1
sería el doble que la tuya. y + 1 = 2 (x - 1)
Y si te doy un saco, y - 1
tu carga x + 1
se igualaría a la mía y - 1 = x + 1
3. LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

De lenguaje español a lenguaje algebraico
Los cuatro hermanos tienen 45 duros. x + y + z + t = 45
Si al dinero del primero se le agregan 2 duros x + 2
al del segundo se restan 2 duros y - 2
el del tercero se duplica 2z
y el del cuarto se divide por, dos, t/2
a todos les quedará la misma cantidad de duros. x+2 = y-2 = 2z = t/2
4. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?
5. COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?
6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?
7. LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?
8. LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?
9. COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?
10. MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?